미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$

단계 1

미분 방정식을 풀려면 $y^{3}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 2}$

단계 2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

단계 3

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{2}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$v^{- \frac{1}{2}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.4.2

${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

단계 4.5

간단히 합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6.2.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 4.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.7.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.7.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.13

$\frac{1}{2}$ 와 $v^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 4.15

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

단계 4.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

단계 4.17

$\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

단계 4.18

$\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

단계 4.19

$v$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 4.21

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 4.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 4.23

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{2}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 각 항에 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 각 항에 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1

$2 v^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.1.2

$- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 에서 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{1}{2}}$ 에 $v^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.4.1

$v^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.4.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.4.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.5

$- v^{1} (- 1 \cdot (2))$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 2 = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.2.1.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 6.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.3.2

$- \frac{1}{2} \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.3.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.3.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{3}{2}}$ 에 $v^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.4.1

$v^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

단계 6.1.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

단계 6.1.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

단계 6.1.3.4.4

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

단계 6.1.3.4.5

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{0}$

단계 6.1.3.5

$- 2 x v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x$

단계 6.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 2$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 d x}$

단계 6.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{2 x + C}$

단계 6.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 x}$

단계 6.3

각 항에 적분 인수 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

각 항에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (- 2 x)$

단계 6.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (- 2 x)$

단계 6.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$

단계 6.3.4

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = - 2 x e^{2 x}$

단계 6.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = - 2 x e^{2 x}$

단계 6.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int - 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.6

좌변을 적분합니다.

$e^{2 x} v = \int - 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} v = - 2 \int x e^{2 x} d x$

단계 6.7.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} v = - 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.7.3.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.7.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

단계 6.7.4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

단계 6.7.5

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.5.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.5.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.7.5.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.7.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.7.5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.7.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

단계 6.7.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 6.7.7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

단계 6.7.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 6.7.8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

단계 6.7.9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

단계 6.7.10

$- 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 을 $- 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 6.7.11

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

단계 6.7.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

단계 6.7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

단계 6.7.12.1.3

$e^{2 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

단계 6.7.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} v = - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

단계 6.7.12.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

단계 6.7.12.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

단계 6.7.12.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

단계 6.7.12.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

단계 6.7.12.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

단계 6.7.12.4.3

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

단계 6.7.12.4.4

공약수로 약분합니다.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

단계 6.7.12.4.5

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.5.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.5.2

$- - \frac{e^{2 x}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.5.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- x e^{2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.7

$- x e^{2 x}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.9.1

$- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.12.9.1.1

$- x e^{2 x} \cdot 2$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.7.12.9.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C$

단계 6.7.12.9.1.3

$e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

단계 6.7.12.9.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

단계 6.7.12.10

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2} + C$

단계 6.7.12.11

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2} + C$

단계 6.7.12.12

$- (2 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2} + C$

단계 6.7.12.13

$- (2 x - 1)$ 을 $- 1 (2 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2} + C$

단계 6.7.12.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

단계 6.7.13

괄호를 제거합니다.

$e^{2 x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

단계 6.8

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

$e^{2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$

단계 6.8.2

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.2.1

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.2.2.1

$- \frac{e^{2 x}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.2.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 (x)) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{- e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.3

$- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{- e^{2 x} x + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{- e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.4

공통분모를 사용하여 $- e^{2 x} x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.2.4.1

$e^{2 x}$ 를 옮깁니다.

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1 x e^{2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.4.3

$- 1 x e^{2 x}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.2.5.1

$- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.2.5.1.1

$- 1 x e^{2 x} \cdot 2$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.5.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.5.1.3

$e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.5.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.2.5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.4.1

$C$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.5.3

$e^{2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.5.4

$C$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.6.1

$- 2 e^{2 x} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.2

$e^{2 x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.3

$- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.4

$2 C$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.5

$- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.3.6.6.1

$- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ 을 $- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \frac{\frac{- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$v = \frac{- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.6.6.3

$- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$v = \frac{- \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

단계 6.8.2.3.8

$\frac{1}{e^{2 x}}$ 에 $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}$ 을 곱합니다.

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{e^{2 x} \cdot 2}$

단계 6.8.2.3.9

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$

단계 7

$v$ 에 $y^{- 2}$ 를 대입합니다.

$y^{- 2} = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$