미적분 예제

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 x + x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.2.2

$2 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

단계 1.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

단계 1.4

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

단계 2

$N (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$x = 0$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - x}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $2 x + x y$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $2 x + x y$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

단계 4.3.2

$0$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x}{2 x + x y}$

단계 4.3.3

$2 x + x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.3.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

단계 4.3.3.2

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

단계 4.3.3.3

$x \cdot 2 + x (y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

단계 4.3.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{2 + y}$

단계 4.3.5

$M$ 에 $2 x + x y$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{2 + y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

단계 5.2

먼저 $u = 2 + y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.2.1

$u = 2 + y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 5.2.1.1

$2 + y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

단계 5.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

단계 5.2.1.3

$2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

단계 5.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 5.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

단계 5.3

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

단계 5.4

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

단계 5.5

$u$ 를 모두 $2 + y$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| 2 + y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

단계 6

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{2 + y}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$2 x + x y$ 에 $\frac{1}{2 + y}$ 을 곱합니다.

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

단계 6.2

$2 x + x y$ 에 $\frac{1}{2 + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

단계 6.3

$2 x + x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

단계 6.3.2

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

단계 6.3.3

$x \cdot 2 + x (y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

단계 6.4

$2 + y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

단계 6.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x d x + y d y = 0$

단계 6.5

$y$ 에 $\frac{1}{2 + y}$ 을 곱합니다.

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

단계 6.6

$y$ 와 $\frac{1}{2 + y}$ 을 묶습니다.

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x d x$

단계 8

$M (x, y) = x$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

단계 11.3

$\frac{1}{2} x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2} x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

단계 11.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

단계 12

$\frac{y}{2 + y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

단계 12.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

단계 12.3

$2$ 와 $y$ 을 다시 정렬합니다.

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

단계 12.4

$y$ 을 $y + 2$ 로 나눕니다.

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단계 12.4.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$2$

$y$

$0$

단계 12.4.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

단계 12.4.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

단계 12.4.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

단계 12.4.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

단계 12.4.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

단계 12.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

단계 12.6

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

단계 12.7

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

단계 12.8

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

단계 12.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

단계 12.10

먼저 $u = y + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 12.10.1

$u = y + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.10.1.1

$y + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

단계 12.10.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

단계 12.10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

단계 12.10.1.4

$2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 12.10.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 12.10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

단계 12.11

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

단계 12.12

간단히 합니다.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

단계 12.13

$u$ 를 모두 $y + 2$ 로 바꿉니다.

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

단계 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

단계 14.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| y + 2 |)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

단계 14.1.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y + 2 |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

단계 14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 14.3

$- \ln ({(y + 2)}^{2})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

단계 14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

단계 14.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.5.1

$- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ 을 곱합니다.

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단계 14.5.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

단계 14.5.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

단계 14.5.2

${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 14.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

단계 14.5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$