미적분 예제

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

단계 1.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

단계 1.3

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

단계 1.3.2

$e^{- x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

단계 1.4

$\frac{x y}{x - 1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{x}{x - 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{x}{x - 1}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

단계 2.2

$\frac{x}{x - 1}$ 를 적분합니다.

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단계 2.2.1

$x$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 2.2.1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

단계 2.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

단계 2.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

단계 2.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

단계 2.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

단계 2.2.4

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.4.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.4.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2.2.4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2.4.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

단계 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x + \ln (x - 1)}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 을 곱합니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{x}{x - 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.2.2

$e^{x + \ln (x - 1)}$ 와 $\frac{x y}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ 에서 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1.1

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ 에서 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.5.1.2

$e^{x + \ln (x - 1)} x y$ 에서 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.5.1.3

$e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ 에서 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.5.4

$- 1 \frac{d y}{d x}$ 을 $- \frac{d y}{d x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

단계 3.6

지수를 더하여 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

단계 3.6.2

$x + \ln (x - 1) - x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.6.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

단계 3.6.2.2

$0$ 를 $\ln (x - 1)$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

단계 3.7

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

단계 3.8

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

단계 7.3

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

단계 7.4

간단히 합니다.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

단계 8

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ 의 각 항을 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ 의 각 항을 $e^{x + \ln (x - 1)}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{x + \ln (x - 1)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.3.1.3

조합합니다.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.3.1.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

단계 8.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$