미적분 예제

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ 의 각 항을 $4 x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ 의 각 항을 $4 x y$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.2.1

$4 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

단계 1.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y}{4 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

단계 1.2.2

$\frac{y}{4 x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

단계 1.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

단계 1.2.4.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

단계 1.2.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

단계 1.2.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

단계 1.2.4.5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

단계 1.2.4.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

단계 1.4

양변에 $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

단계 1.5.2

$4 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$4 y x$ 에서 $4 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

단계 1.5.3

$(y + 1) (y - 1)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u = (y + 1) (y - 1)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = (y + 1) (y - 1)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

단계 2.2.2.1.2

$f (y) = y + 1$ , $g (y) = y - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.2.1.3.3

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.2.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.2.1.3.4.2

$y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.2.1.3.5

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 2.2.2.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

단계 2.2.2.1.3.7

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

단계 2.2.2.1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

단계 2.2.2.1.3.8.2

$y - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 + y - 1$

단계 2.2.2.1.3.8.3

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$2 y + 1 - 1$

단계 2.2.2.1.3.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.8.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 y + 0$

단계 2.2.2.1.3.8.4.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.8

$u$ 를 모두 $(y + 1) (y - 1)$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$