미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ 에서 $x^{2} y^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{3} y^{3}$ 에서 $x^{2} y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

단계 1.1.2

$- x^{2} y^{3}$ 에서 $x^{2} y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

단계 1.1.3

$x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ 에서 $x^{2} y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

단계 1.2

$x + x y^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

단계 1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

단계 1.2.3

$x y^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

단계 1.2.4

$x \cdot 1 + x (y^{4})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

단계 1.2.5

$x$ 에 $1 + y^{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

단계 1.4

양변에 $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$x^{2} (x - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.1.2.5

$x (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.4

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.5

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

단계 1.5.6

$x^{2} - x$ 에 $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

단계 1.5.7

$1 + y^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

단계 1.5.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

단계 1.5.8

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.8.1

$(x^{2} - x) y^{3}$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

단계 1.5.8.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

단계 1.5.8.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.2

$(1 + y^{4}) y^{- 3}$ 을 곱합니다.

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$y^{- 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.3.2

지수를 더하여 $y^{4}$ 에 $y^{- 3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.3.2.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.3.3

$y^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.5

멱의 법칙에 의해 $y^{- 3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.6

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.7.2.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

단계 2.2.8

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$