미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

단계 1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

단계 1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

단계 1.2.2

$6 x - x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

단계 1.2.2.2

$- x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

단계 1.2.2.3

$x \cdot 6 + x (- x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 6 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 6 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$6 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $6 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 2.3.2.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.3.3.2

$u$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

단계 2.3.5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

단계 2.3.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

단계 2.3.7

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

단계 2.3.8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

단계 2.3.8.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

단계 2.3.9

$u$ 를 모두 $6 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

${(6 - x^{2})}^{2}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

단계 3.2.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

단계 3.2.2.1.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$K$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

단계 3.2.2.1.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

단계 3.2.2.1.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.3.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

단계 3.2.2.1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

단계 3.2.2.1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

단계 3.2.2.1.4

$K$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

단계 3.2.2.1.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.5.1

$- {(6 - x^{2})}^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

단계 3.2.2.1.5.2

$8 K$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

단계 3.2.2.1.5.3

$- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

단계 3.2.2.1.5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.5.4.1

$- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ 을 $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

단계 3.2.2.1.5.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

${(6 - x^{2})}^{2}$ 을 $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.1.7

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

단계 3.4.3.2

$- 6 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

단계 3.4.4

$- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ 을 ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

단계 3.4.4.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 3.4.4.3

분수 $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

단계 3.4.4.4

$- 1$ 와 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

단계 3.4.4.5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

단계 3.4.4.6

괄호를 표시합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

단계 3.4.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

단계 3.4.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

단계 3.4.7

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$