미적분 예제

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.3

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{2}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

단계 3.3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

단계 3.4

$\tan (\arctan (y) - K) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

단계 3.5

탄젠트 안의 $\arctan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

단계 3.6

방정식의 양변에 $K$ 를 더합니다.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

단계 3.7

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

단계 3.8

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

단계 3.9

탄젠트 안의 $\arctan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

단계 3.10

방정식의 양변에 $K$ 를 더합니다.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

단계 3.11

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$