미적분 예제

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = \sin (3 x)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

단계 1.2

$\sin (3 x)$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\sin (3 x)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\sin (3 x)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

단계 2

$N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

단계 2.2

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 의 미분은 $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

단계 2.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 2.5

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.5.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.6

미분합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6.3

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

단계 2.6.5

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 을 대입합니다.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.2

$0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.2.2

$- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.2.3

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.2.4

$2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.2.5

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.5.1

$2 y \cos^{3} (3 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

단계 4.3.2.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

단계 4.3.2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

$- 9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.3.2

$9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.5

$\cos^{2} (3 x)$ 및 $\cos^{3} (3 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.1

$9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 에서 $\cos^{2} (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

단계 4.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.2.1

$\cos^{3} (3 x)$ 에서 $\cos^{2} (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

단계 4.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

단계 4.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

단계 4.3.6

분수를 나눕니다.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

단계 4.3.7

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 을 $\tan (3 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

단계 4.3.8

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 \tan (3 x)$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

단계 5

적분 $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

단계 5.2

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.2.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.2.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 5.2.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 5.2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 5.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

단계 5.3

$\tan (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

단계 5.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

단계 5.5.2

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

단계 5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

단계 5.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

단계 5.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

단계 5.5.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

단계 5.6

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (u) |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

단계 5.7

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

단계 5.8

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

단계 5.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.9.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

단계 5.9.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

단계 6

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\sec^{3} (3 x)$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$\sin (3 x)$ 에 $\sec^{3} (3 x)$ 을 곱합니다.

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.2

$\sec (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.3

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.5

$\sin (3 x)$ 와 $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.6

$\cos^{3} (3 x)$ 에서 $\cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.7

분수를 나눕니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.8

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 을 $\tan (3 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.9

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.10

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.11

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 을 $\sec (3 x)$ 로 변환합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.12

$2 y \cos^{3} (3 x)$ 에 $\sec^{3} (3 x)$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

단계 6.13

$\sec (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

단계 6.14

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

단계 6.15

$\cos^{3} (3 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.15.1

$2 y \cos^{3} (3 x)$ 에서 $\cos^{3} (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

단계 6.15.2

공약수로 약분합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

단계 6.15.3

수식을 다시 씁니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

단계 6.16

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

단계 6.17

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 2 y d y$

단계 8

$N (x, y) = 2 y$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

단계 8.3.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y^{2} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

단계 11.3

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

단계 11.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d x}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

단계 12

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

단계 12.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

단계 12.3

먼저 $u_{2} = \sec (3 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 12.3.1

$u_{2} = \sec (3 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 12.3.1.1

$\sec (3 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 12.3.1.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 12.3.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 입니다.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 12.3.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 12.3.1.3

미분합니다.

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단계 12.3.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 12.3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

단계 12.3.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 12.3.1.3.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

단계 12.3.1.3.3.2

$\sec (3 x) \tan (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

단계 12.3.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 12.4

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

단계 12.5

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

단계 12.6

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 12.7

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 12.8

간단히 합니다.

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단계 12.8.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 12.8.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

단계 12.9

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (3 x)$ 로 바꿉니다.

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

단계 13

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

단계 14

$\frac{1}{6}$ 와 $\sec^{2} (3 x)$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$