미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

단계 1.2

양변에 $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

단계 1.3.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$(y - 1) x$ 에서 $y - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

단계 1.3.3

$y (y - 2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

단계 1.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = y (y - 2)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 y - 2) d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = y (y - 2)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y (y - 2)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

단계 2.2.1.1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = y - 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $y - 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.3

$- 2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.4.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y + (y - 2) \cdot 1$

단계 2.2.1.1.3.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.6.1

$y - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + y - 2$

단계 2.2.1.1.3.6.2

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$2 y - 2$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $y (y - 2)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$