미적분 예제

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 2

$N (x, y) = x - x y + 2$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x - x y + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$1 - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- y + 1$ 을 대입합니다.

$1 = - y + 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 = - y + 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- y + 1$ 를 대입합니다.

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- y + 0}{y}$

단계 4.3.2.2

$- y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- y}{y}$

단계 4.3.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- y}{y}$

단계 4.3.3.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - 1 d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

단계 6

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{- y}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y$ 에 $e^{- y}$ 을 곱합니다.

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

단계 6.2

$x - x y + 2$ 에 $e^{- y}$ 을 곱합니다.

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

단계 8

$M (x, y) = y e^{- y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $y e^{- y} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y e^{- y} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.2

$f (y) = y$ , $g (y) = e^{- y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.3

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- y$ 로 바꿉니다.

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.3.3

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.8

$e^{- y}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.9

$- 1 e^{- y}$ 을 $- e^{- y}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.3.10

$e^{- y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 11.5.3

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에 $x y e^{- y}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $x e^{- y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

단계 12.1.3

$x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.3.1

$- x y e^{- y}$ 를 $x y e^{- y}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

단계 12.1.3.2

$x e^{- y} + 2 e^{- y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

단계 12.1.3.3

$x e^{- y}$ 에서 $x e^{- y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

단계 12.1.3.4

$2 e^{- y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

단계 13

$2 e^{- y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

단계 13.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

단계 13.4

먼저 $u = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 13.4.1

$u = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 13.4.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 13.4.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 13.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 13.4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 13.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

단계 13.5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

단계 13.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

단계 13.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

단계 13.8

간단히 합니다.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

단계 13.9

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

단계 14

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

단계 15

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$