미적분 예제

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 1 + x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

단계 1.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

단계 1.4

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

단계 2

$N (x, y) = - (1 + x^{2})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (1 + x^{2})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

단계 2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 x$ 을 대입합니다.

$x = - 2 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$x = - 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $- (1 + x^{2})$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $- (1 + x^{2})$ 를 대입합니다.

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$x - (- 2 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.2.1.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.2.1.3

$- (- 2 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.2.1.4

$x \cdot 1 + x (- (- 2))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

단계 4.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

단계 5.4

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.4.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.4.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 5.4.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.4.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.4.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 5.4.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 5.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

단계 5.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

단계 5.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

단계 5.7

간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 5.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 5.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

단계 5.9

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

단계 5.10

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

단계 5.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.11.1

$- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.1.1

$\ln (| 1 + x^{2} |)$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

단계 5.11.1.2

$\frac{3}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

단계 5.11.2

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

단계 5.11.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

단계 5.11.4

${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.11.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

단계 5.11.4.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.4.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

단계 5.11.4.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

단계 5.11.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

단계 5.11.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 6

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$1 + x y$ 에 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

단계 6.2

$1 + x y$ 에 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

단계 6.3

$- (1 + x^{2})$ 에 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.6

$- 1 - x^{2}$ 에 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.8

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.9

$- 1 (1) - (x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 6.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

단계 8

$N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$y$ 와 $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 8.2.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

단계 8.2.3

지수를 더하여 ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 에 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

단계 8.2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

단계 8.2.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

단계 8.2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

단계 8.2.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

단계 8.2.3.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.5

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.8

${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.8.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.8.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.12.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.12.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.14

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.15

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.16

$2$ 와 $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.17

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.19

공약수로 약분합니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.20

수식을 다시 씁니다.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.21

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 을 묶습니다.

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.22

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.23

지수를 더하여 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.23.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.23.1.1

$1 + x^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.23.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.23.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.23.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.23.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.24

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.25

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.3.26

$y$ 와 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.4

$y x - 1 - x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.1.4.1

인수가 항 $y x$ 과(와) $- x y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.4.2

$x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.4.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 13

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 13.3

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

단계 13.4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.5

$\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 13.5.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.5.2

${(\sec^{2} (t))}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 13.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.5.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.5.3

$\sec^{6} (t)$ 을 ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.5.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.6

$\sec^{2} (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.6.1

$\sec^{3} (t)$ 에서 $\sec^{2} (t)$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.6.2

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 13.6.3

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

단계 13.7

간단히 합니다.

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단계 13.7.1

$\sec (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

단계 13.7.2

$\frac{1}{\cos (t)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

단계 13.7.3

$\cos (t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (x) = \int \cos (t) d t$

단계 13.8

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\sin (t)$ 입니다.

$g (x) = \sin (t) + C$

단계 13.9

$t$ 를 모두 $\arctan (x)$ 로 바꿉니다.

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

단계 14

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

단계 15

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

평면에 $(1, x)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arctan (x))$ 는 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 입니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

단계 15.1.2

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

단계 15.1.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 15.1.3.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

단계 15.1.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

단계 15.1.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

단계 15.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

단계 15.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

단계 15.1.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 을 $1 + x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 15.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

단계 15.1.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

단계 15.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

단계 15.1.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

단계 15.1.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

단계 15.1.3.6.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

단계 15.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.2

지수를 더하여 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 15.4.2.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 15.4.2.1.1

$1 + x^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.2.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.3

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 에 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.4

지수를 더하여 $1 + x^{2}$ 에 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 15.4.4.1

$1 + x^{2}$ 에 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 15.4.4.1.1

$1 + x^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

단계 15.4.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

단계 15.4.4.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.4

지수를 더하여 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 15.6.4.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.4.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.5

$x {(1 + x^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.8

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 15.6.8.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.6.8.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.8.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.9

인수분해된 형태로 $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ 를 다시 씁니다.

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단계 15.6.9.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 15.6.9.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.9.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15.6.9.2

최대공약수 $- 1 - x^{2}$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$