미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$6 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{6}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u)$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 6} \int e^{u} + 2 d u$

단계 2.3.4.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} \int e^{u} + 2 d u$

단계 2.3.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

단계 2.3.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + \int 2 d u)$

단계 2.3.7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + 2 u + C_{3})$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + 2 u) + C_{4}$

단계 2.3.9

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C_{4}$

단계 2.3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

단계 2.3.10.2

$\frac{1}{12}$ 와 $e^{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

단계 2.3.10.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.3.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 x^{2}) + C_{4}$

단계 2.3.10.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (x^{2})) + C_{4}$

단계 2.3.10.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 x^{2}) + C_{4}$

단계 2.3.10.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.10.4

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + C_{4}$

단계 2.3.11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{12}$ 와 $e^{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

단계 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{12} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 (4)} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 \cdot 4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

단계 3.4.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3 K}$

단계 3.4.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

단계 3.4.4

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K}$

단계 3.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $3 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K \cdot \frac{4}{4}}$

단계 3.4.6

$3 K$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + \frac{3 K \cdot 4}{4}}$

단계 3.4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 3 K \cdot 4}{4}}$

단계 3.4.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$

단계 3.4.9

$\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$

단계 3.4.10

$\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.11

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.1

$\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.11.2

$\sqrt[3]{4}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.11.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.11.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

단계 3.4.11.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 을 $4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4}$ 을(를) $4^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.11.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.11.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.11.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

단계 3.4.11.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

단계 3.4.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

단계 3.4.12.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

단계 3.4.12.3

$16$ 을 $2^{3} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.3.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

단계 3.4.12.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.12.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

단계 3.4.12.5

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.13

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1.1

$2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.13.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.13.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.13.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$

단계 3.4.13.2

$\frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + K)}}{2}$