미적분 예제

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ 를 뺍니다.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

조합합니다.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.3

$\frac{1}{\ln (y) y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.5

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.6

$x^{2} \ln (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

먼저 $u = \ln (y)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{y} d y$ 이므로 $y d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.2.1.1

$u = \ln (y)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$\ln (y)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

단계 4.2.1.1.2

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$\frac{1}{y}$

단계 4.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $\ln (y)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

단계 4.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

단계 5.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

단계 5.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.1

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

단계 5.3.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

단계 5.3.2.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

단계 5.3.2.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

단계 5.3.2.4

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 6.1

$e^{- 3 x + C}$ 을 $e^{- 3 x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

단계 6.2

$e^{- 3 x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

단계 6.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$