미적분 예제

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d t}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d t}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에서 $t y^{2}$ 를 뺍니다.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

단계 1.1.3

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ 에서 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$t^{2} \frac{d y}{d t}$ 에서 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 를 인수분해합니다.

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

단계 1.1.3.2

$- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ 에서 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 를 인수분해합니다.

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

단계 1.1.3.3

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ 에서 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 를 인수분해합니다.

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

단계 1.1.4

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ 의 각 항을 $t^{2} (1 - y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ 의 각 항을 $t^{2} (1 - y)$ 로 나눕니다.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.2.2

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.2.2.2

$\frac{d y}{d t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.3.1.2

$t$ 및 $t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.2.1

$- t y^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

단계 1.1.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.2.2.1

$t^{2} (1 - y)$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

단계 1.1.4.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

단계 1.1.4.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

단계 1.1.4.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.1

$1$ 와 $- y$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

단계 1.2.1.1.2

$1$ 와 $- y$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

단계 1.2.1.2

$- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

단계 1.2.1.3

$- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

단계 1.2.1.4

$- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{t}{t}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

단계 1.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(- y + 1) t^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ 에 $\frac{t}{t}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

단계 1.2.3.2

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

단계 1.2.3.3

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

단계 1.2.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

단계 1.2.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

단계 1.2.5

$y^{2} + y^{2} t$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

단계 1.2.5.2

$y^{2} t$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

단계 1.2.5.3

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

단계 1.2.5.4

$y^{2}$ 에 $1 + t$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

단계 1.4

양변에 $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

단계 1.5.2

$\frac{y^{2}}{- y + 1}$ 에 $\frac{1 + t}{t^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

단계 1.5.3

$- y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

단계 1.5.3.2

$- (- y + 1)$ 에서 $- y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

단계 1.5.3.3

$(- y + 1) t^{2}$ 에서 $- y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

단계 1.5.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

단계 1.5.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

단계 1.5.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

단계 1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.2

$(- y + 1) y^{- 2}$ 을 곱합니다.

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$y^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.3.1.2

$y^{- 2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.3.1.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.3.2

$y^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.6

$y^{- 1}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.7

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.8

간단히 합니다.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.2.9

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

단계 2.3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$t^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

단계 2.3.2.2

${(t^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

단계 2.3.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

단계 2.3.3

$(1 + t) t^{- 2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$t^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

단계 2.3.4.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$t$ 에 $t^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

단계 2.3.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

단계 2.3.4.2.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

단계 2.3.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $t^{- 2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- t^{- 1}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

단계 2.3.7

$t^{- 1}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$