미적분 예제

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x d x$ 를 뺍니다.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

단계 3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = x$ 입니다.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

단계 3.4

$\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ 을 곱합니다.

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

단계 3.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ 을 곱합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

단계 3.5.2

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

단계 3.5.3

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

단계 3.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

단계 3.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

단계 3.5.6

${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ 을 $(a + x) (a - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ 을(를) ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

단계 3.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

단계 3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

단계 3.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

단계 3.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

단계 3.5.6.5

간단히 합니다.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

단계 3.6

$x$ 와 $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ 을 묶습니다.

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

단계 4.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u = (a + x) (a - x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.3.2.1

$u = (a + x) (a - x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.3.2.1.1

$(a + x) (a - x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

단계 4.3.2.1.2

$f (x) = a + x$ , $g (x) = a - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $a - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.2

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.6.2

$a + x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.6.3

$- 1 (a + x)$ 을 $- (a + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

단계 4.3.2.1.3.7

합의 법칙에 의해 $a + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.2.1.3.8

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.2.1.3.9

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.2.1.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

단계 4.3.2.1.3.11

$a - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (a + x) + a - x$

단계 4.3.2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- a - x + a - x$

단계 4.3.2.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.2.1

$- a$ 를 $a$ 에 더합니다.

$- x + 0 - x$

단계 4.3.2.1.4.2.2

$- x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x - x$

단계 4.3.2.1.4.2.3

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 4.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 4.3.3.2

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

단계 4.3.3.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

단계 4.3.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

단계 4.3.5.2

$\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

단계 4.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

단계 4.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

단계 4.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

단계 4.3.7.2.2

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.2.1

$u$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.2.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

단계 4.3.7.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

단계 4.3.7.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

단계 4.3.7.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

단계 4.3.7.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.3.7.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3.7.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.7.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.7.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.3.8

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.9.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.9.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.9.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.9.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $(a + x) (a - x)$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$