미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

단계 1.2

$\frac{2}{20 - x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

단계 1.2.2

먼저 $u = 20 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$u = 20 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 1.2.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 1.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

단계 1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

단계 1.2.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

단계 1.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

단계 1.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

단계 1.2.7

간단히 합니다.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

단계 1.2.8

$u$ 를 모두 $20 - x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

단계 1.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

단계 1.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(20 - x)}^{- 2}$

단계 1.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.2.2

$\frac{2}{20 - x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.2.3

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 에 $\frac{2 y}{20 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.2.3.2

지수를 더하여 ${(20 - x)}^{2}$ 에 $20 - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

${(20 - x)}^{2}$ 에 $20 - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1.1

$20 - x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.2.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.2.3.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

단계 2.3

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

단계 6.2

먼저 $u = 20 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$u = 20 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 6.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

단계 6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 6.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

단계 6.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 6.5.2

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 6.5.3

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 6.5.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

단계 6.6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

단계 6.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$- 4 (- u^{- 1} + C)$ 을 $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

단계 6.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

단계 6.7.2.2

$4$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

단계 6.8

$u$ 를 모두 $20 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

단계 7

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{4}{20 - x}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

단계 7.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

단계 7.1.3

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

단계 7.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{20 - x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{20 - x}{20 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

단계 7.1.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(20 - x)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.5.1

$\frac{4}{20 - x}$ 에 $\frac{20 - x}{20 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

단계 7.1.5.2

$20 - x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

단계 7.1.5.3

$20 - x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

단계 7.1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

단계 7.1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

단계 7.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

단계 7.1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

단계 7.1.7.2

$- 4$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

단계 7.1.7.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

단계 7.1.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- C$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.9

$- C$ 와 $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.11.1

${(20 - x)}^{2}$ 을 $(20 - x) (20 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(20 - x) (20 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.11.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.11.3.1.1

$20$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.2

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.3

$20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.11.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.3.2

$- 20 x$ 에서 $20 x$ 을 뺍니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.11.5.1

$400$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.1.11.6

$- 1$ 에 $- 40$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

단계 7.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

단계 7.3

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

방정식의 양변에 $80$ 를 더합니다.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

단계 7.3.2

방정식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

단계 7.3.3

방정식의 양변에 $400 C$ 를 더합니다.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

단계 7.3.4

방정식의 양변에서 $40 C x$ 를 뺍니다.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

단계 7.3.5

방정식의 양변에 $C x^{2}$ 를 더합니다.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$