미적분 예제

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

단계 1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

단계 1.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{3}{2}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{3}{2} x}$

단계 2.4

$\frac{3}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

단계 3.2.2

$\frac{3}{2}$ 와 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

단계 3.2.3

$\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

단계 3.4

지수를 더하여 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

단계 3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

단계 3.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

단계 3.4.4

$- x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

단계 3.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

단계 3.4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$- x \cdot 2 + 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.1

$- x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

단계 3.4.6.1.2

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

단계 3.4.6.1.3

$x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

단계 3.4.6.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

단계 3.4.6.3

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

단계 3.4.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

단계 3.5

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{\frac{x}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 3.6

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

단계 7.2

먼저 $u = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$u = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 7.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 7.2.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 7.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

단계 7.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

단계 7.3.3

$e^{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

단계 7.4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

단계 7.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

단계 7.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

단계 7.5.3

$\int e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

단계 7.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

단계 7.7

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

단계 7.8

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

단계 8

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{\frac{3 x}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x}$ 및 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$e^{\frac{1}{2} x}$ 에서 $e^{\frac{3 x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.1.2.4

$e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

$\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1.1

$\frac{1}{2} x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.2.1.2

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.2.1.3

$x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.2.3

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.1

$x \cdot - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.3.2.4

$x \cdot - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.4

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 8.3.1.5

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $5$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

단계 10

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

단계 10.2.2

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$3 \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

단계 10.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

단계 10.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

단계 10.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

단계 10.2.2.2.4

$3 \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

단계 10.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

단계 10.2.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 + \frac{C}{1} = 5$

단계 10.2.4

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 + C = 5$

단계 10.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$C = 5 - 1$

단계 10.3.2

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$C = 4$

단계 11

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ 의 $C$ 에 $4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$C$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$