미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x + 2 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

단계 1.1.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

단계 1.1.3

$2 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

단계 1.1.4

$x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.4

양변에 $y (1 + 2 y^{2})$ 을 곱합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.4.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

단계 1.5.5

조합합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

단계 1.5.6

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

단계 1.5.7

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.7.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.7.2.1

$4 x y (1 + 2 y^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

단계 1.5.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

단계 1.5.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.8

$y + 2 y^{3}$ 에 $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ 을 곱합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.9

$y + 2 y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.9.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.9.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.9.3

$2 y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.9.4

$y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.10

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.10.1

공약수로 약분합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.10.2

수식을 다시 씁니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.11

$1 + 2 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.11.1

공약수로 약분합니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

단계 1.5.11.2

수식을 다시 씁니다.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.2

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.3

$y$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.8

$y$ 와 $2 y^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.5

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$\frac{1}{4}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.6.2

간단히 합니다.

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 을 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$