미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

단계 1

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 의 각 항을 $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 의 각 항을 $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.2.2

$\sin^{2} (\frac{y}{x})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.1.3

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ 을 ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.1.4

$\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ 을 $\csc (\frac{y}{x})$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.1.5

$\sin^{2} (\frac{y}{x})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

단계 1.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

단계 6.1.1.1.2

$\csc^{2} (V) + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

단계 6.1.1.1.2.2

$\csc^{2} (V)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

단계 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

단계 6.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

단계 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

단계 6.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

조합합니다.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

단계 6.1.3.2

$\csc^{2} (V)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

단계 6.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.2

$\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ 을 ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.3

$\csc (V)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.4

$\frac{1}{\sin (V)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.5

$\sin (V)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (V)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $V$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.6

$- 1$ 은 $V$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7

먼저 $u = 2 V$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d V$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.7.1

$u = 2 V$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.7.1.1

$2 V$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d V} [2 V]$

단계 6.2.2.7.1.2

$2$ 은 $V$ 에 대해 일정하므로 $V$ 에 대한 $2 V$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d V} [V]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d V} [V]$

단계 6.2.2.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 는 $n V^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.2.2.7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2.2.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.10

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.11

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.12

$u$ 를 모두 $2 V$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.13.1

$\sin (2 V)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.13.3

$\frac{1}{2}$ 와 $V$ 을 묶습니다.

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.13.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.13.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 V)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.13.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

단계 8

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{y}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

단계 8.1.2

$2$ 와 $\frac{y}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

단계 8.1.3

$\sin (\frac{2 y}{x})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$