미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + 1}{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{4 x^{2} + 1}{y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{4 x^{2} + 1}{y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = (4 x^{2} + 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int 4 x^{2} + 1 d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 4 x^{2} + 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int d x$

단계 2.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4 x^{3}}{3} + x + C_{4}$

단계 2.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{4}{3} x^{3} + x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{4}{3} x^{3} + x + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{4}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2 \frac{4 x^{3}}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$2$ 와 $\frac{4 x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = \frac{2 (4 x^{3})}{3} + 2 x + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{8 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$\frac{8 x^{3}}{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x + 2 K}$

단계 3.4.1.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (x) + 2 K}$

단계 3.4.1.3

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (x) + 2 K}$

단계 3.4.1.4

$2 \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x) + 2 K}$

단계 3.4.1.5

$2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K)}$

단계 3.4.3

$x$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K)}$

단계 3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 x^{3} + x \cdot 3}{3} + K)}$

단계 3.4.5

$4 x^{3} + x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2}) + x \cdot 3}{3} + K)}$

단계 3.4.5.2

$x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2}) + x (3)}{3} + K)}$

단계 3.4.5.3

$x (4 x^{2}) + x (3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2} + 3)}{3} + K)}$

단계 3.4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

단계 3.4.7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$K$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x (4 x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

단계 3.4.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x (4 x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 (x^{2} x) + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.4.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{2 + 1} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3} + 3 x + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.4.8.5

$K$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

단계 3.4.9

$2$ 와 $\frac{4 x^{3} + 3 x + 3 K}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}{3}}$

단계 3.4.10

$\sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

단계 3.4.11

$\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 3.4.12

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 3.4.12.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 3.4.12.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 3.4.12.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.12.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 3.4.12.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.12.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.12.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.12.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.12.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 3.4.12.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

단계 3.4.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

단계 3.4.13.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (4 x^{3} + 3 x + K)}}{3}$