미적분 예제

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $(y e^{y} - 2 x) d y$ 를 뺍니다.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 3

$N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

단계 3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (y e^{y} - 2 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $y e^{y} - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.4

$y e^{y}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y e^{y}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

단계 3.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$1 = 2$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 = 2$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - 1}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - 1}{y}$

단계 5.3.2

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

단계 6.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

단계 6.2.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | y | + C$

단계 7

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $y$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

단계 7.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

단계 7.3

$- (y e^{y} - 2 x)$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

단계 7.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

단계 7.6

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

단계 7.7

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 7.7.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

단계 7.7.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

단계 9

$M (x, y) = y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

단계 13.1.2

$- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.2.1

$2 x y$ 에서 $2 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

단계 13.1.2.2

$- y^{2} e^{y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

단계 14

$- y^{2} e^{y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

단계 14.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

단계 14.4

$u = y^{2}$ 이고 $d v = e^{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

단계 14.5

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

단계 14.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

단계 14.7

$u = y$ 이고 $d v = e^{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

단계 14.8

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

단계 14.9

답을 간단히 합니다.

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단계 14.9.1

$- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ 을 $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

단계 14.9.2

간단히 합니다.

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단계 14.9.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

단계 14.9.2.2

간단히 합니다.

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단계 14.9.2.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

단계 14.9.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

단계 15

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$