미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

단계 1

문제를 수학식으로 표현합니다.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

단계 2

미분 방정식을 다시 씁니다.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

단계 3

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

단계 3.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.3.1

$A$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $A x e^{x^{2}}$ 의 미분은 $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 입니다.

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.8.2

$e^{x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

단계 3.3.10

$e^{x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

단계 3.3.11

간단히 합니다.

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단계 3.3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

단계 3.3.11.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

단계 3.3.11.3

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

단계 4

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.1.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.1.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.2

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

인수가 항 $x (A e^{x^{2}})$ 과(와) $- A x e^{x^{2}}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.2.2

$e^{x^{2}} A x$ 에서 $e^{x^{2}} A x$ 을 뺍니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.2.3

$2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

단계 5.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

단계 5.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

단계 5.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

단계 5.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

단계 5.4

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

단계 6

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = A x e^{x^{2}}$ 이 $x y' - y = 2 x^{2} y$ 의 해입니다.