미적분 예제

$\frac{d f}{d x} = 8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d f = (8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d f = \int 8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$f + C_{1} = \int 8 x + \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f + C_{1} = \int 8 x d x + \int \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

단계 2.3.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = 8 \int x d x + \int \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{3 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

단계 2.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

단계 2.3.5

먼저 $u = 9 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$u = 9 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$9 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

단계 2.3.5.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

합의 법칙에 의해 $9 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.5.1.2.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 2.3.5.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 2.3.5.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 2.3.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.3.6.3

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 2.3.6.4

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 2.3.7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

단계 2.3.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 2.3.9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 2.3.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.10.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.3.10.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.3.10.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3.10.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.10.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.10.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 2.3.11

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$f + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

단계 2.3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.12.1

간단히 합니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} - \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

단계 2.3.12.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.12.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.2

$- 2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.3

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.4

$\frac{- 6}{2}$ 와 $u^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 6 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.5

$- 6 u^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{2 (- 3 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.12.2.6.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{2 (- 3 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{2 (- 3 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} + \frac{- 3 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

단계 2.3.12.2.6.4

$- 3 u^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} - 3 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

단계 2.3.13

$u$ 를 모두 $9 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f + C_{1} = 4 x^{2} - 3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$f = 4 x^{2} - 3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$