미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\tan^{2} (y)$ 을 곱합니다.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

단계 1.2

$\tan^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (y)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2.4

$\tan (y)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (y)$ 이므로, $\sec^{2} (y)$ 의 적분값은 $\tan (y)$ 이 됩니다.

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 2.3

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$