미적분 예제

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{d y}{d x} y$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

단계 1.1.3

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ 에서 $\frac{d y}{d x} y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x} y$ 에서 $\frac{d y}{d x} y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

단계 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x} y x$ 에서 $\frac{d y}{d x} y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

단계 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ 에서 $\frac{d y}{d x} y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

단계 1.1.4

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ 의 각 항을 $y (1 + x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ 의 각 항을 $y (1 + x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.2.2

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{1 + x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + x) y$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.3.1

$\frac{x}{1 + x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.3.2

$(1 + x) y$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.5

$- x y - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.5.1

$- x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.5.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.5.3

$x (- y) + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.6

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.8

$- (y) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.9.1

$- (y + 1)$ 을 $- 1 (y + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

단계 1.1.4.3.9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

단계 1.3

양변에 $\frac{y}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

단계 1.4.2

$\frac{x}{1 + x}$ 에 $\frac{y + 1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

단계 1.4.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- \frac{y}{y + 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

단계 1.4.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

단계 1.4.3.3

$(1 + x) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

단계 1.4.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

단계 1.4.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

단계 1.4.4

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

$x (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

단계 1.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

단계 1.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$y$ 을 $y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y$

$0$

단계 2.2.1.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

단계 2.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

단계 2.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

단계 2.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

단계 2.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.5

먼저 $u_{1} = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$u_{1} = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.5.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.5.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.2.8

$u_{1}$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

단계 2.3.2

$1$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 2.3.3

$x$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 2.3.3.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 2.3.3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

단계 2.3.3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

단계 2.3.3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

단계 2.3.3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

단계 2.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 2.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 2.3.7

먼저 $u_{2} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$u_{2} = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 2.3.7.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.7.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

단계 2.3.10

$u_{2}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

단계 2.3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

단계 2.3.11.2

$- - \ln (| x + 1 |)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

단계 2.3.11.2.2

$\ln (| x + 1 |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$