미적분 예제

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ 의 각 항을 $x (y - 3)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ 의 각 항을 $x (y - 3)$ 로 나눕니다.

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

단계 1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

단계 1.1.2.2

$y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

단계 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{y - 3}{4 y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\frac{4 y}{y - 3}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

단계 1.4.2

$y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$(y - 3) x$ 에서 $y - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

단계 1.4.3

$4 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

단계 1.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.2

$y - 3$ 을 $y$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$y$

$3$

단계 2.2.2.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

단계 2.2.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

단계 2.2.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

단계 2.2.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

단계 2.2.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.6

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.8

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.2.9

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$