미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

단계 2.3.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

단계 2.3.7.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

단계 2.3.7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

단계 2.3.7.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

단계 2.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ 에서 $x$ 에 $2$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

단계 4.2

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

단계 4.2.1.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

단계 4.2.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.3.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

단계 4.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

단계 4.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

단계 4.2.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

단계 4.2.1.5

$- \frac{1}{3} \cdot 8$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.5.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

단계 4.2.1.5.2

$- 8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

단계 4.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

단계 4.2.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

단계 4.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

단계 4.2.4

$8$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

단계 4.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

단계 4.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.6.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

단계 4.2.6.2

$24$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{16}{3} + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $\frac{16}{3}$ 를 뺍니다.

$K = - \frac{16}{3}$

단계 5

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{16}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{16}{3}$ 를 대입합니다.

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

단계 5.2.2

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$