미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ 에 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.2

$\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ 에 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.5

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.6.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.7

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.8

몫의 미분 법칙 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 의 거듭제곱을 활용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

단계 6.1.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = V$ 입니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

단계 6.1.1.2

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.1

$\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.1.1

$\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.1.2

$- V$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.1.3

$V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.3

$- 1$ 와 $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ 을 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 1 - V) (1 - V)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

$- 1 (- V)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

$V$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

지수를 더하여 $V$ 에 $V$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

$V$ 를 옮깁니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

$V$ 에 $V$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

$V^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.2

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.4.3

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2.5.6

$0$ 를 $V^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.3

$V$ 와 $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ 을 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4

지수를 더하여 $V$ 에 $V^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.4.1

$V$ 에 $V^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.4.1.1

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.6

조합합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

단계 6.1.1.3.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.7.1

$V^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

단계 6.1.1.3.3.7.2

$\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

단계 6.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.3

양변에 $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

조합합니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

단계 6.1.4.2

조합합니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

단계 6.1.4.3

$1 + V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

단계 6.1.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

단계 6.1.4.4

$1 - V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

단계 6.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

단계 6.1.4.5

$V^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

단계 6.1.4.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$V^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

${(V^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

$(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.7

$V$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.8

$V$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.9

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.10

$V^{- 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.12

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.13

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.15

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.16

$V$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.17

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.19

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.20

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.21

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.22

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.23

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.24

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.25

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.26

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.27

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.28

$- V^{- 2}$ 를 $V^{- 2}$ 에 더합니다.

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.29

$0$ 에서 $V^{- 1}$ 을 뺍니다.

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.30

$V^{- 3}$ 와 $- V^{- 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.5

$- 1$ 은 $V$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.6

$V^{- 1}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\ln (| V |)$ 입니다.

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7

멱의 법칙에 의해 $V^{- 3}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ 가 됩니다.

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.8.1

간단히 합니다.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.8.2.1

$\frac{1}{V^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.8.2.2

$V^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.9

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

단계 8

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\frac{y}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

단계 8.2.2

$2$ 와 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

단계 8.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

단계 8.2.4

$\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

단계 8.3

$- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.2.2

$\ln (| \frac{y}{x} |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1.1

$\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ 을 $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.4

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 8.3.3.1.5

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

단계 8.3.3.1.6

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ 을 $- \ln (| x |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

단계 8.4

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

단계 8.5

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

단계 8.6

$| \frac{y}{x} | | x |$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

단계 8.6.2

$\frac{y}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

단계 8.7

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

단계 8.7.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$