미적분 예제

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

단계 1

양변에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

단계 2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\ln (x) + 1$ 을 곱합니다.

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

단계 3.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

단계 3.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

단계 3.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.3.3.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 3.3.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.4

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

단계 3.3.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

단계 3.3.7

$u$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

단계 4.1.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

단계 4.2

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ 의 각 항에 $2$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ 의 각 항에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

단계 4.2.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

단계 4.2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

단계 4.2.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

단계 4.2.3.1.2

$\ln (| x |)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

단계 4.2.3.1.3

$C$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

단계 4.3.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

단계 4.4

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

단계 4.5

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

단계 4.6

방정식의 양변에 $\ln (x^{2})$ 를 더합니다.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

단계 4.7

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.8

이차함수의 근의 공식에 $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.2

$- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1.2.1

$- 4$ 와 $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.2.2

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.2.3

$- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.2.4

$- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ 을 $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.3

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1.3.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.3.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.4

$4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ 을 $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.1.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

단계 4.9.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

단계 4.9.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

단계 4.9.4

$\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

단계 4.9.5

$- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ 을 $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

단계 4.10

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

단계 5

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$