미적분 예제

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$y - 1$ 을 $- y - 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y$

$1$

단계 2.2.1.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $- y$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

단계 2.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

단계 2.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

단계 2.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

단계 2.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.5

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.7

먼저 $u = - y - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$u = - y - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 2.2.7.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 2.2.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.10

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.11

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.12

간단히 합니다.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.13

$u$ 를 모두 $- y - 1$ 로 바꿉니다.

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{4}$ 입니다.

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$