미적분 예제

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $3 (y^{4} + 1) d x$ 를 뺍니다.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3.2

$4$ 와 $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x y^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3.4

$\frac{4}{y^{4} + 1}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

단계 3.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

단계 3.6

$- 3$ 와 $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

단계 3.7

$y^{4} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$x (y^{4} + 1)$ 에서 $y^{4} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

단계 3.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

단계 3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.2

$y^{4}$ 을 ${(y^{4})}^{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.3

먼저 $u_{1} = y^{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$u_{1} = y^{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$y^{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

단계 4.2.3.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y^{3}$

단계 4.2.3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

간단히 합니다.

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.4.2

$\frac{1}{u_{1} + 1}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.4.3

$u_{1} + 1$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.5

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$\frac{1}{4}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.6.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.6.3

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.7

먼저 $u_{2} = u_{1} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

$u_{2} = u_{1} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1.1

$u_{1} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

단계 4.2.7.1.2

합의 법칙에 의해 $u_{1} + 1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 4.2.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 4.2.7.1.4

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.9

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

$u_{2}$ 를 모두 $u_{1} + 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.9.2

$u_{1}$ 를 모두 $y^{4}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

단계 4.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 4.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.5.1

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

단계 5.5.2

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| x |}^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 ${| x |}^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

${| x |}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

단계 5.5.2.2.1.2

$| y^{4} + 1 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

단계 5.5.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

단계 5.5.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

단계 5.5.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

단계 6.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$