미적분 예제

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ 를 뺍니다.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

단계 2

양변에 $\frac{y}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x e^{y}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

단계 3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{y}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

단계 3.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

단계 3.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- \frac{1}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

단계 3.6.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

단계 3.6.3

공약수로 약분합니다.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

단계 3.6.4

수식을 다시 씁니다.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

단계 3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

$u = y$ 이고 $d v = e^{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$