미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{3}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x y^{\frac{1}{3}})$

단계 1.2

$y^{\frac{1}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x y^{\frac{1}{3}}$ 에서 $y^{\frac{1}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x)$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x)$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int x d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- \frac{1}{3}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ 와 $y^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

조합합니다.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.6

$y^{\frac{2}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{x^{2}}{2} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3} K$

단계 3.2.2.1.3

조합합니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2}{3} K$

단계 3.2.2.1.4

$\frac{2}{3}$ 와 $K$ 을 묶습니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2 K}{3}$

단계 3.2.2.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2 K}{3}$

단계 3.2.2.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3}$

단계 3.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{3}{2}$ 승합니다.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4.1.2

간단히 합니다.

$y = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$