미적분 예제

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

단계 1

$M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

단계 1.2

방정식의 양변에 $5 t$ 를 더합니다.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

단계 2

방정식 좌변이 $t y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (t) = t$ , $g (t) = y$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t y' + y \cdot 1$

단계 2.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

단계 2.5

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

단계 2.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t \frac{d y}{d t} + y$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$t y = \int 5 t d t$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$t y = 5 \int t d t$

단계 6.2

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

단계 6.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ 을 $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

단계 6.3.2

$5$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

단계 7

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ 의 각 항을 $t$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ 의 각 항을 $t$ 로 나눕니다.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$t^{2}$ 및 $t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

$\frac{5}{2} t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

단계 7.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

단계 7.3.1.1.2.2

$t^{1}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

단계 7.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

단계 7.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

단계 7.3.1.1.2.5

$\frac{5}{2} t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

단계 7.3.1.2

$\frac{5}{2}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$