미적분 예제

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ 의 각 항을 $x^{2} + y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ 의 각 항을 $x^{2} + y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 1.2

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 에 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.3

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 에 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.5

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 1.6

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.7

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.7.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.7.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.7.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.8

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.9

몫의 미분 법칙 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 의 거듭제곱을 활용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

단계 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 6.1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

단계 6.1.1.2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- V$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.3.1

$- V$ 와 $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.4.1

$V - V (1 + V^{2})$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.4.1.1

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.1.2

$V^{1}$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.1.3

$- V (1 + V^{2})$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.1.4

$V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.5

$0$ 에서 $V^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.6

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.4.6.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.6.2

지수를 더하여 $V$ 에 $V^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.4.6.2.1

$V$ 에 $V^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.4.6.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.1.2.3.7

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

단계 6.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.3

양변에 $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.4.2

$\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

단계 6.1.4.3

$1 + V^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.3.1

$- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

단계 6.1.4.3.2

$- (1 + V^{2})$ 에서 $1 + V^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

단계 6.1.4.3.3

$(1 + V^{2}) x$ 에서 $1 + V^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

단계 6.1.4.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

단계 6.1.4.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

단계 6.1.4.4

$V^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

단계 6.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$V^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.2

${(V^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

$(1 + V^{2}) V^{- 3}$ 을 곱합니다.

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

$V^{- 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.2

지수를 더하여 $V^{2}$ 에 $V^{- 3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.2.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.5

멱의 법칙에 의해 $V^{- 3}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.6

$V^{- 1}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\ln (| V |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.7.1

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.7.2.1

$\frac{1}{V^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.7.2.2

$V^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

단계 6.2.3.3

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

단계 8

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.3

$| \frac{y}{x} | | x |$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.3.2

$\frac{y}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.4.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$\frac{y}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

단계 8.5.2

$2$ 와 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

단계 8.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

단계 8.5.4

$\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$