미적분 예제

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

단계 1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

단계 1.2.2

$2 - 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

단계 1.2.2.2

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

단계 1.2.2.3

$2 (1) + 2 (- y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

단계 2.3.2

먼저 $u = 1 - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 1 - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 2.3.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

단계 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

단계 2.3.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| u |)$ 을 묶습니다.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $1 - y$ 로 바꿉니다.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

단계 2.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $x$ 을 꺼냅니다.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\ln (| 1 - y |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

단계 3.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ 을 간단히 합니다.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$