미적분 예제

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

단계 1

$\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $A b^{2} \cos (b r)$ 를 뺍니다.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

단계 1.1.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

단계 1.2

$- b^{2} A \cos (b r)$ 에서 $A$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

단계 1.3

$A$ 와 $- b^{2} \cos (b r)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (r) d r}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

단계 2.2

$- b^{2} \cos (b r)$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- b^{2}$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $- b^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

단계 2.2.2

먼저 $u = b r$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = b d r$ 이므로 $\frac{1}{b} d u = d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = b r$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d r}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

다시 씁니다.

$1 b$

단계 2.2.2.1.2

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

단계 2.2.3

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{b}$ 을 묶습니다.

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

단계 2.2.4

$\frac{1}{b}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{b}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{b}$ 와 $b^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.5.2

$b^{2}$ 및 $b$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$b^{2}$ 에서 $b$ 를 인수분해합니다.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.1

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.5.2.2.2

$b^{1}$ 에서 $b$ 를 인수분해합니다.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.5.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.5.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.5.2.2.5

$b$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

단계 2.2.6

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$e^{- b \sin (u) + C}$

단계 2.2.8

$u$ 를 모두 $b r$ 로 바꿉니다.

$e^{- b \sin (b r) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- b \sin (b r)}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- b \sin (b r)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{- b \sin (b r)}$ 을 곱합니다.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

단계 3.3

$e^{- b \sin (b r)}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

단계 3.4

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ 를 $r$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

단계 7.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

단계 8

$e^{- b \sin (b r)} A = C$ 의 각 항을 $e^{- b \sin (b r)}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{- b \sin (b r)} A = C$ 의 각 항을 $e^{- b \sin (b r)}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{- b \sin (b r)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

단계 8.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ 에서 $r$ 에 $0$ 을, $A$ 에 $b^{3}$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

단계 10

$b$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

양변에 $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ 을 곱합니다.

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1.1

$b$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.1.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.1.1.3

$- b \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.1.1.3.2

$0$ 에 $b$ 을 곱합니다.

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.1.1.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.1.1.5

$b^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

단계 10.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$b^{3} = C$

단계 10.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$b = \sqrt[3]{C}$

단계 11

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ 의 $C$ 에 $\sqrt[3]{C}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$b$ 에 $\sqrt[3]{C}$ 를 대입합니다.

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$