미적분 예제

$x y y' = 1 - x^{2}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ 의 각 항을 $x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ 의 각 항을 $x y$ 로 나눕니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

단계 2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

단계 2.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

단계 2.1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

단계 2.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

단계 2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

단계 2.1.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1.2.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

단계 2.1.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

단계 2.1.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

단계 2.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

단계 2.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x y$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{x}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

단계 2.2.2.2

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

단계 2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

단계 2.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

단계 2.2.4.2

$x \cdot x$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

단계 2.2.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

단계 2.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

단계 2.4

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

단계 2.5.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

단계 2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

단계 2.6

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

단계 3.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

단계 3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

단계 3.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$x$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

단계 3.3.4.2

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

단계 3.3.4.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

단계 3.3.4.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

단계 3.3.4.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

단계 3.3.5

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

단계 3.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

단계 3.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

단계 3.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

단계 3.3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

단계 3.3.10

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

단계 3.3.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.11.1

$0$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

단계 3.3.11.2

$1$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

단계 3.3.12

$- x^{2} + 1$ 을 $x$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.12.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 3.3.12.2

피제수 $- x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

단계 3.3.12.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

단계 3.3.12.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

단계 3.3.12.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

단계 3.3.12.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

단계 3.3.12.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.13

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.14

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.15

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.16

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

단계 3.3.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.17.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

단계 3.3.17.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.3

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

단계 4.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

단계 4.5

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 4.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 4.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 4.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 5

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$