미적분 예제

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

단계 1

$v = t^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $t^{2}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

단계 2

$t^{2}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d w}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (w) = w^{2}$ , $g (w) = t$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

단계 2.2

$\frac{d}{d w} [t]$ 을 $t'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

단계 3

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 w t$ 에서 $2 t$ 를 인수분해합니다.

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

단계 3.3

수식을 다시 씁니다.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

단계 4

$\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에서 $v$ 를 뺍니다.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

단계 4.2

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ 의 각 항을 $w$ 로 나눕니다.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

단계 4.3

$w$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

단계 4.3.2

$\frac{d v}{d w}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

단계 4.4

$w^{3}$ 및 $w$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 2 w^{3}$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

단계 4.4.2.2

$w^{1}$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

단계 4.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

단계 4.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

단계 4.4.2.5

$- 2 w^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

단계 4.5

$\frac{- v}{w}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

단계 4.6

$v$ 와 $\frac{- 1}{w}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

단계 5

적분 인수는 $e^{\int P (w) d w}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (w) = \frac{- 1}{w}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

단계 5.2

$\frac{- 1}{w}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

단계 5.2.2

$- 1$ 은 $w$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

단계 5.2.3

$\frac{1}{w}$ 를 $w$ 에 대해 적분하면 $\ln (| w |)$ 입니다.

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

단계 5.2.4

간단히 합니다.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

단계 5.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- \ln (w)}$

단계 5.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

단계 5.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$w^{- 1}$

단계 5.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{w}$

단계 6

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{w}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

각 항에 $\frac{1}{w}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\frac{1}{w}$ 와 $\frac{d v}{d w}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.4

$\frac{1}{w}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.5

$- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$\frac{v}{w}$ 에 $\frac{1}{w}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.5.2

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.5.3

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

단계 6.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

단계 6.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{w}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

단계 6.5

$w$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$w^{2}$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

단계 6.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

단계 7

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

단계 8

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

단계 9

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

단계 10

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 2$ 은 $w$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

단계 10.2

멱의 법칙에 의해 $w$ 를 $w$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} w^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

단계 10.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ 을 $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

단계 10.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

단계 10.3.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

단계 10.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

단계 10.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

단계 10.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

단계 10.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

단계 11

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{w}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

단계 11.2

양변에 $w$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

단계 11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1

$w$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

단계 11.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$v = (- w^{2} + C) w$

단계 11.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$(- w^{2} + C) w$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = - w^{2} w + C w$

단계 11.3.2.1.2

지수를 더하여 $w^{2}$ 에 $w$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.2.1

$w$ 를 옮깁니다.

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

단계 11.3.2.1.2.2

$w$ 에 $w^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.2.2.1

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

단계 11.3.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

단계 11.3.2.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$v = - w^{3} + C w$

단계 12

$v$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$t^{2} = - w^{3} + C w$

단계 13

$t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

단계 13.2

$- w^{3} + C w$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- w^{3}$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

단계 13.2.2

$C w$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

단계 13.2.3

$w (- w^{2}) + w C$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

단계 13.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

단계 13.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

단계 13.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$