미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 2$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{2 x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

단계 2.3

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$e^{2 x}$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

단계 6.2

$u = \sin (x)$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

단계 6.4

분수를 통분합니다.

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단계 6.4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

단계 6.4.2

$\sin (x)$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

단계 6.4.3

$e^{2 x}$ 와 $\cos (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

단계 6.5

$u = \cos (x)$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

단계 6.6

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot - 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

단계 6.7

항을 간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

단계 6.7.2

$\cos (x)$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

단계 6.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

단계 6.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

단계 6.7.5

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

단계 6.7.6

곱합니다.

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단계 6.7.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

단계 6.7.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

단계 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

단계 6.7.7

$\frac{- 1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

단계 6.7.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

단계 6.8

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$ 을 풀면 $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ 입니다.

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

단계 6.9

답을 간단히 합니다.

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단계 6.9.1

$\frac{5}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

단계 6.9.2

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ 을 $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

단계 6.9.3

간단히 합니다.

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단계 6.9.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

단계 6.9.3.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

단계 6.9.3.3

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

단계 6.9.3.4

$e^{2 x}$ 와 $\frac{\cos (x)}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

단계 6.9.4

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

단계 7

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$e^{2 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

단계 7.1.2

$\cos (x)$ 와 $\frac{e^{2 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

단계 7.1.3

괄호를 제거합니다.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

단계 7.2

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.2.1

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1.1.1

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.2.3.1.1.1.1

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.1.1.2

$- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.1.1.3

$e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.1.3

$\frac{4}{5}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.2

$\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ 에서 $\frac{4 e^{2 x}}{5}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.3

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1.3.1

$4 e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.6

$\frac{2}{5}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.7.1

$- \frac{\cos (x)}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.8

$\frac{1}{5}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$