미적분 예제

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

단계 1

방정식 좌변이 $(1 + e^{x}) y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 1 + e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 1.5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

단계 1.6

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

단계 5.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$(1 + e^{x}) y = C$

단계 6

$(1 + e^{x}) y = C$ 의 각 항을 $1 + e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$(1 + e^{x}) y = C$ 의 각 항을 $1 + e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$1 + e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$