미적분 예제

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y - \frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (y) = - 1$ , $g (y) = \frac{1}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 1.3.4

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 1.3.6

$y^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

단계 1.3.7

$\frac{1}{y}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

단계 1.3.8

$y^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

단계 1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

단계 1.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

단계 2

$N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{x}{y^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{y^{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

단계 2.3.3

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\frac{1}{y^{2}} + 1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\frac{1}{y^{2}} + 1$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

단계 5

$M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $(y - \frac{1}{y}) x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $y - \frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.4

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.5

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.6

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.7

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.9

$y^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.10

$\frac{1}{y}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.3.11

$y^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.5.3

항을 묶습니다.

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단계 8.5.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.5.3.2

$x$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 8.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

단계 9.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{x}{y^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

단계 9.1.3

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.3.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

단계 9.1.3.2

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

단계 9.1.3.3

$\frac{x}{y^{2}}$ 에서 $\frac{x}{y^{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

단계 9.1.3.4

$\frac{d g}{d y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 10

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 10.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 10.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 11

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

단계 12.2

$x$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$