미적분 예제

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

단계 2

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

단계 2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

단계 2.2.2

$\frac{d v}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

단계 2.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

단계 2.3.2

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

단계 2.4

$\frac{2 v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

단계 2.5

$v$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

단계 3

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{2}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

단계 3.2

$\frac{2}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

단계 3.2.3

간단히 합니다.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

단계 3.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 \ln (x)}$

단계 3.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{2})}$

단계 3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{2}$

단계 4

각 항에 적분 인수 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{2}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

단계 4.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

단계 4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

단계 4.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

단계 4.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

단계 5

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

단계 6

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

단계 7

좌변을 적분합니다.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

단계 8

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 8.3.2.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

단계 8.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

단계 8.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

단계 8.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

단계 9

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$x^{3}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 9.3.1.2.4

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 10

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

단계 11

식을 다시 씁니다.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

단계 12

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

단계 12.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

단계 12.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

단계 12.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

단계 12.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

단계 12.3.4

$C_{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 12.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.5.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 12.3.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 12.3.5.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.5.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 12.3.5.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

단계 12.3.6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

단계 12.3.7

간단히 합니다.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

단계 12.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

단계 12.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$