미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

단계 1.2

양변에 $\frac{\ln (y)}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 와 $\frac{y}{\ln (y)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

단계 1.3.2

$\ln (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

단계 1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

단계 1.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

단계 1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

단계 1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = \ln (y)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{y} d y$ 이므로 $y d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = \ln (y)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$\ln (y)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

단계 2.2.1.1.2

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$\frac{1}{y}$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u d u = \int x d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $\ln (y)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln^{2} (y)$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

단계 3.3.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

단계 3.3.2.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

단계 3.3.2.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

단계 3.3.2.4

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

단계 3.3.2.5

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

단계 3.3.2.6

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

단계 3.3.2.7

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

단계 3.3.2.8

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.