미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + x y = 2 x$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = x$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int x d x}$

단계 1.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

단계 1.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 x)$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

단계 2.3

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 6.2

먼저 $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.2.1

$u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.2.1.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

단계 6.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 6.2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 6.2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 6.2.1.3

미분합니다.

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단계 6.2.1.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6.2.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

단계 6.2.1.3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.3.4.1

$2$ 와 $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

단계 6.2.1.3.4.2

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

단계 6.2.1.3.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.3.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

단계 6.2.1.3.4.3.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

단계 6.2.1.3.4.4

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 6.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int d u_{2}$

단계 6.3

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u_{2} + C)$

단계 6.4

답을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

간단히 합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 u_{2} + C$

단계 6.4.2

$u_{2}$ 를 모두 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

단계 6.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

단계 7

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 및 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1.1

$2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 에서 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.1.2.4

$2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.2.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.2.1.3

$x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.2.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.3

$x^{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y = 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$y = 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.3.1.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$