미적분 예제

$(y^{2} - y) \frac{d y}{d x} = x + \ln (x)$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$(y^{2} - y) d y = (x + \ln (x)) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} - y d y = \int x + \ln (x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{2} d y + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - \int y d y = \int x + \ln (x) d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x + \ln (x) d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x + \ln (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \ln (x) d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \ln (x) d x$

단계 2.3.3

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int d x$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (x) x - x + C_{6}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + K$