미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

단계 1

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 2$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 2 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- 2 x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- 2 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{- 2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

단계 3.4

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

단계 7.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

단계 7.3.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

단계 7.3.3

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 7.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 7.5.2

$\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

단계 7.6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

단계 7.7

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.7.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.7.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 7.7.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 7.7.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 7.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

단계 7.8

간단히 합니다.

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단계 7.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

단계 7.8.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 7.9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

단계 7.10

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

단계 7.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.11.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 7.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

단계 7.12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

단계 7.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.13.1

$3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 을 $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 7.13.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.13.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 7.13.2.2

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 7.13.2.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

단계 7.14

$u$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 7.15

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

단계 8.1.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

단계 8.1.3

$e^{- 2 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

단계 8.2

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ 의 각 항을 $e^{- 2 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ 의 각 항을 $e^{- 2 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.2.1

$e^{- 2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.2

$3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.2.2

$- 3$ 와 $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.3

$3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.3.2

$- 3$ 와 $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.6.1

$\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.8.1

$- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ 에서 $3 e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.8.1.1

$- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ 에서 $3 e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.8.1.2

$- 3 e^{- 2 x}$ 에서 $3 e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.8.1.3

$3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ 에서 $3 e^{- 2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.10

$C$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.12.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.12.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.12.4

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.2.12.5

$C$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.4

$\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ 에 $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.5

$- 6 e^{- 2 x} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.6

$- 3 e^{- 2 x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.7

$- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.8

$4 C$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.9

$- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.10.1

$- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ 을 $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.10.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

단계 8.2.3.10.3

$- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$