미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{5} e^{- x^{6}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 6 \int x^{5} e^{- x^{6}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 2.3.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 을 ${u_{1}}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.2.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 ${u_{1}}^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.3.4

$\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ 와 $e^{- {u_{1}}^{3}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 6$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{- 6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.5.2

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.5.2.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = - 3 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

단계 2.3.6

먼저 $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1.1

$- {u_{1}}^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

단계 2.3.6.1.2

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- {u_{1}}^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

단계 2.3.6.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 {u_{1}}^{2})$

단계 2.3.6.1.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 {u_{1}}^{2}$

단계 2.3.6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

단계 2.3.7.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

단계 2.3.8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

단계 2.3.9

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

단계 2.3.10

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 2.3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.11.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.11.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.11.3

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.12

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

단계 2.3.13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.13.1

$u_{2}$ 를 모두 $- {u_{1}}^{3}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{3}} + C_{2}$

단계 2.3.13.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{3}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = e^{- {(x^{2})}^{3}} + K$