미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = x^{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{3} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ 에서 $x$ 에 $- 1$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

단계 4.2.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} + K = 2$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{4}$ 를 뺍니다.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

단계 4.3.3

$2$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$K = \frac{8 - 1}{4}$

단계 4.3.5.2

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$K = \frac{7}{4}$

단계 5

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ 의 $K$ 에 $\frac{7}{4}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $\frac{7}{4}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

단계 5.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$