미적분 예제

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ 의 각 항을 $1 + x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ 의 각 항을 $1 + x$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + x}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{1 + x}$

단계 1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$4 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{1 + x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 2.3.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.5

$u$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |) = C$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| 1 + x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{4}) = C$

단계 3.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| 1 + x |}^{4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{4}) = C$

단계 3.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}})} = e^{C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$

단계 3.5.2

양변에 ${(1 + x)}^{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

단계 3.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

${(1 + x)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

단계 3.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

단계 3.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$e^{C} {(1 + x)}^{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.1

이항정리 이용

$| y | = e^{C} (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2.1.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2.1.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4})$

단계 3.5.4.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

단계 3.5.4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.3.1

$e^{C}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = e^{C} + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

단계 3.5.4.1.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

단계 3.5.4.1.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

단계 3.5.4.1.3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$

단계 3.5.4.1.4

$e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = e^{C} + 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C}$

단계 3.5.4.1.5

$e^{C}$ 를 옮깁니다.

$| y | = 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + e^{C}$

단계 3.5.4.1.6

$4 x e^{C}$ 를 옮깁니다.

$| y | = 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

단계 3.5.4.1.7

$6 x^{2} e^{C}$ 를 옮깁니다.

$| y | = 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

단계 3.5.4.1.8

$4 x^{3} e^{C}$ 와 $x^{4} e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$| y | = x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

단계 3.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm (x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C})$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm (x^{4} C + 4 x^{3} C + 6 x^{2} C + 4 x C + C)$